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Geometría, Matemáticas

5° Básico

Midiendo áreas

Llamamos área o superficie a la medida de la región interior de un polígono. Recordemos que la región interior es la parte del plano que queda encerrada por los lados del polígono.

Llamamos área o superficie a la medida de la región interior de un polígono. Recordemos que la región interior es la parte del plano que queda encerrada por los lados del polígono.

Observa:

Este polígono de 9 lados, es decir, un eneágono, tiene pintada de azul su región interior.

Los puntos de la región interior no se intersectan con la región exterior, porque tienen una frontera: los lados que forman el polígono.

Entonces, se cumple:

Una necesidad y un problema

El hombre tuvo necesidad de medir la superficie de los terrenos que sembraba. Para hacerlo, ideó un sistema utilizando los elementos que tenía a su alcance. El método consistió en colocar cada elemento sobre la tierra para ver cuántas veces cabía en la superficie que quería medir, como si pusiera baldosas sobre ella.

Pero se le presentó una dificultad, debido a que las medidas que usaba eran arbitrarias. Es decir, cada persona tenía una base diferente, y media de acuerdo a su propio parecer, sin ponerse de acuerdo con los demás.

Por ejemplo…

Para que entiendas mejor lo anterior, lo veremos graficado con un ejemplo.

Vamos a medir el área de una figura, utilizando elementos diferentes.

Esta es nuestra figura:

Primero mediremos el área de este rectángulo, tomando como medida base una baldosa roja.

La baldosa roja cabe 9 veces en nuestro rectángulo, entonces su área es de 9 baldosas rojas.

Ahora, mediremos con una baldosa diferente, la que identificaremos con el color verde. Así:

La baldosa verde cabe 16 veces en el rectángulo. El área corresponde a 16 baldosas verdes.

El rectángulo es el mismo, pero las baldosas son diferentes. Por lo tanto, los resultados de la medición también fueron distintos.

La solución para este problema fue la creación de un sistema de medidas universales que te vamos a presentar a continuación.

 

Medidas universales

Las medidas de superficie oficiales tienen como base al metro cuadrado, cuyo símbolo es m2.

El metro cuadrado es un cuadrado que tiene 1 metro por lado.

El metro cuadrado es la unidad de medida que se utiliza para medir el tamaño de una casa o de una propiedad.

Unidades mayores

Hay unidades mayores que el metro cuadrado. Se las conoce como múltiplos de él, y son:

Kilómetro cuadrado: km2, es un cuadrado de 1 km. por lado
Hectómetro cuadrado: hm2, es un cuadrado de 1 hm. por lado. Se llama, además, hectárea
Decámetro cuadrado: dám2, es un cuadrado de 1 dám. por lado. También se le conoce como área.

Para medir terrenos agrarios se utilizan las áreas y las hectáreas.

Las grandes extensiones de tierra o agua se miden en km2. Por ejemplo, la superficie de América del Sur corresponde a 18.600.000 km2

Unidades menores

Las medidas más pequeñas que el metro cuadrado son los submúltiplos de él:

Decímetro cuadrado: dm2, que es un cuadrado de 1 dm. por lado.
Centímetro cuadrado: cm2, un cuadrado de 1 cm. por lado.
Milímetro cuadrado: mm2, que es un cuadrado de 1 mm. por lado

Los dibujos correspondientes a los submúltiplos del metro cuadrado son:

El papel lustre que viene en cuadrados generalmente mide 1 decímetro cuadrado

El papel milimetrado que ocupas en Ciencias Naturales, está diseñado en milímetros cuadrados.

La tabla completa de las unidades de medida de área y su equivalencia en metros cuadrados es:

– Kilómetro cuadrado: km2 = 1.000.000 m2
Hectómetro cuadrado: hm2 = 10.000 m2
Hecámetro cuadrado: dám2 = 100 m2
Metro cuadrado: m2 = 1 m2
Decímetro cuadrado: dm2 = 0,01 m2
Centímetro cuadrado: cm2 = 0,0001 m2
Milímetro cuadrado: mm2 = 0,000001 m2

Equivalencia entre unidades de medida

Para establecer equivalencias entre unidades de medida de área, utilizaremos la siguiente tabla:

Esta tabla tiene 2 cuadros por cada columna, ya que cada unidad de medida es 100 veces mayor o menor de la que le sigue.

Para realizar las equivalencias, tendremos que contar 2 cifras por columna.

Si nuestra equivalencia va desde una medida mayor a una menor, es decir de izquierda a derecha, multiplicaremos por una potencia de 100.

Si vamos desde una medida menor a una mayor, nuestra operación será dividir por una potencia de 100.

Son potencias de 100: 100 – 10.000 – 1.000.000 – 100.000.000 – …

Si nuestras equivalencias son en números decimales, podemos decir que al multiplicar correremos la coma hacia la derecha, 2 lugares por columna, y 2 a la izquierda por cada una, si es que dividimos.

Algunos casos

Realizaremos las siguientes equivalencias:

423 cm2 a dm2
Vamos a colocar 423 en nuestra tabla.

La unidad 3 debe estar en la columna de los cm2

Como de cm2 a dm2 hay 1 columna hacia la izquierda, contamos 2 lugares y colocamos la coma. Obtenemos:

423 cm2 = 4,23 dm2

Veamos este otro ejemplo:

725,6 hm2 a m2. La unidad 5 debe estar en hm2:

Llenamos con 0 los casilleros que hay hasta m2, es decir multiplicamos por 10.000, porque vamos hacia la derecha 2 columnas, por lo tanto:

725,6 hm2 = 7.256.000 m2

Otras equivalencias

– 32 km2 a m2
– 1,2 dm2 a dám2
– 7 m2 a cm2

Completamos las equivalencias y obtenemos:

32 km2 = 32.000.000 m2
– 1,2 dm2 = 0,00012 dám2
– 7 m2 = 70.000 cm2

Midiendo áreas

Llamamos área o superficie a la medida de la región interior de un polígono. Recordemos que la región interior es la parte del plano que queda encerrada por los lados del polígono.

En este Icarito aprenderás los conceptos necesarios para medir áreas.

El origen de un sistema
Medidas universales
Equivalencia entre unidades de medida
Calculando áreas
El área de los triángulos
Área de un círculo
Apliquemos el teorema de Pitágoras

Calculando áreas

Ya vimos las unidades de medida de área. Ahora, nuestro próximo paso es calcular la superficie de figuras geométricas conocidas.

Comenzaremos por el cálculo de área en los cuadriláteros y, dentro de ellos, en los paralelógramos que son: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.

Cuadrados y rectángulos

– Dibujaremos un cuadrado de 3 cm. y colocaremos sobre él centímetros cuadrados.

Obtuvimos 9 cm2, lo mismo que si multiplicamos lado por lado, de este modo:

3 cm  3 cm = 9 cm2

Si llamamos a al lado del cuadrado, podemos concluir que:

el área de un cuadrado es a  a = a2

– El área de un rectángulo se calcula de forma semejante; lo único que cambia es que las medidas de los lados son distintas. Al largo, lo denominaremos a, y al ancho, b. Calcularemos el área del siguiente rectángulo con centímetros cuadrados.

El área equivale a 8 cm2.

Matemáticamente se puede obtener multiplicando largo por ancho.

En fórmula, el área de un rectángulo es  b

Rombos y romboides

Estos paralelógramos no tienen ángulos rectos, por lo que en ellos no se puede aplicar la misma fórmula. Para calcular su área, recurriremos a un elemento secundario: la altura, un segmento perpendicular (forma ángulos de 90°) que une un lado con su vértice opuesto.

En el rombo y romboide dibujados, DE corresponde a la altura.

¿Por qué necesitamos la altura para calcular el área?

Trazaremos una paralela a la altura desde C y prolongaremos el lado AB hasta obtener F.

Se formó un BFC, congruente con AED y nos quedó el rectángulo EFCD

El rectángulo formado tiene como largo el lado del rombo o romboide, y su ancho es la altura dibujada. Entonces, concluimos que:

El área del rombo o romboide = b  h  b= base, y h = altura

En resumen, cualquier paralelógramo tiene una sola fórmula para calcular su área, ya que en el cuadrado y en el rectángulo un lado es la base y el otro, la altura. Entonces:

Área de un paralelógramo = b  h

Calcularemos el área de un rombo que tiene 4,6 cm. por lado y su altura es de 3 cm. Aplicamos la fórmula:

Área rombo = b h
Área rombo = 4,6 cm 3 cm.
Área rombo = 13,8 cm2

Trapecios

Sabemos que los trapecios son cuadriláteros que tienen un par de lados paralelos llamados bases. Sus lados, es decir, los no paralelos, no son perpendiculares a las bases, salvo el trapecio rectángulo que tiene perpendicular uno de ellos. Para el cálculo de su área también necesitamos considerar la altura.

Para formar un rectángulo trazamos la paralela a DE desde B y prolongamos DC hasta formar F.

Nos queda el AED CFB y nuestro rectángulo es EBFD

El rectángulo tiene como largo la mitad de la suma de las bases del trapecio y su ancho es la altura que trazamos. El área del trapecio se puede calcular aplicando la fórmula:

Calcularemos el área de nuestro trapecio.

El área de los triángulos

El cálculo de área de un triángulo cualquiera, se relaciona con el área de un romboide, cuya fórmula es:
base  altura

¿Cómo podemos relacionar triángulo y romboide?

Lo haremos a través del siguiente dibujo:

A nuestro ABC, le trazaremos una paralela al lado AC a partir de B, y una paralela a AB a partir de C.

Se ha formado un romboide donde el ABC es la mitad de él.

Para calcular el área del romboide necesitábamos la altura, porque su fórmula es b h.

Como el  es la mitad del romboide obtenemos que el área del es igual a la mitad del área del romboide.

Su fórmula es:

AB= 5 cm
AC= 3,2 cm
BC= 4 cm
CD= 3 cm

Calculemos el área de este triángulo.

Comenzamos, aplicando la fórmula.

Triángulo rectángulo

Si el es rectángulo, su área se puede calcular por medio de sus catetos, que son los lados perpendiculares, porque un cateto es la altura del otro.

Entonces, la fórmula para su cálculo sería:

Aplicaremos esta fórmula en el siguiente triángulo rectángulo.

AB= 4 cm
BC= 5 cm
AC= 3 cm

Los catetos miden 3 y 4 cm

Área de un círculo

El círculo es la región interior de una circunferencia.

El área de un círculo se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

Área del O = · r2

 = 3,14 r = radio de la circunferencia

Recordemos que  es un número decimal infinito que, para efectos de cálculo, lo dejamos en 3,14 ó 3.

Aplicaremos la fórmula para calcular el área de un círculo de 3 cm. de radio.

Apliquemos el teorema de Pitágoras

El gran matemático griego Pitágoras descubrió una situación muy especial que se produce en el triángulo rectángulo y que se relaciona con sus lados.

Su teorema dice: “El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, equivale a la suma de los cuadrados construidos sobre sus catetos”

Demostraremos este teorema a través de un dibujo.

Hemos construido un cuadrado sobre cada lado del triángulo rectángulo.

Pitágoras dice que el cuadrado 1 tiene su área igual a la suma de los cuadrados 2 y 3.

De acuerdo al cuadriculado, el cuadrado 1 tiene un área de 25 cuadros. Al sumar los 9 cuadros del cuadrado 2 y los 16 cuadros del 3 obtenemos 25. Entonces, se cumple:

Este teorema nos sirve para calcular la medida desconocida de un lado de un triángulo rectángulo, puede ser un cateto o su hipotenusa.

Por ejemplo: si la hipotenusa mide 5 cm y uno de sus catetos es 4 cm, ¿cuánto mide el otro cateto?

Aplicamos la fórmula.

Áreas achuradas

Son una forma de aplicación del cálculo de áreas de diferentes figuras que están relacionadas entre sí. Para distinguir la parte que se debe calcular como resultado final se procede a achurarla, es decir, se pinta o raya imitando texturas.

Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas de figuras, por lo tanto, hay que descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el área total.

Veamos el siguiente ejemplo:

Esta figura se descompone en medio círculo y un rectángulo. Primero, tendremos que calcular el área del círculo; luego, dividirla por 2. Buscaremos, también el área del rectángulo y después sumaremos ambos resultados para obtener el área total.

Hay ejercicios, que tienen unas figuras dentro de otras y la parte achurada se relaciona con un sector formado por la intersección de ellas. En estos casos, la solución se encuentra buscando la diferencia entre las figuras que forman la intersección. Por ejemplo:

Nuestra figura está formada por un cuadrado con un círculo en su interior. La parte achurada corresponde a la diferencia entre el área del cuadrado y la del círculo.

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