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Matemáticas, Números y Operaciones

2° Básico

Números hasta el 1.000.000

Los dígitos son los números de 1 al 9. Al combinarlos podemos formar cualquier número. Ya formamos los números hasta el 100, te invitamos ahora a formar los números hasta el 1 000 000.

Los dígitos son los números del 0 al 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Al combinarlos podemos formar cualquier número.

Ejemplos:

207
, se forma con los dígitos 2, 0 y 7.

6 748, se forma con los dígitos 6, 7, 4 y 8.

¿Cómo se escriben los números?

Foto 1

• Las decenas netas se escriben con una sola palabra.

Ejemplos:

Foto 2

• Los números del 11 al 29, se escriben con una sola palabra.

Ejemplos:

Foto 3

• Los números del 31 al 99, excepto las decenas netas, se escriben con tres palabras. 

Ejemplos:

Foto 4

• Los números del 100 al 999 se escriben con la centena neta más los números correspondientes.

Ejemplos:

Foto 5

• Los números del 1 000 al 9 000 se escriben con el mil correspondiente más los números que ya sabes escribir. 

Ejemplos:

Foto 6

• Observa cómo se escriben números mayores que 9 999.

Por ejemplo:

Foto 7

– De derecha a izquierda se separa en grupos de 3 cifras:

Foto 8

– Se escribe el número que está a la izquierda del primer grupo de tres (Foto 9), se agrega la palabra Foto 10 y luego se escribe el número completo del grupo de tres (doscientos cuarenta y tres). Es decir el número se escribe:

Foto 8

Foto 11.

Otros ejemplos:

Foto 12

 

Orden y comparación de números naturales

Los números naturales son aquellos que nos sirven para contar 1, 2, 3, 4, 5,…. Los números naturales forman un conjunto que se nota con:

Números y fracciones-Foto13 .

El conjunto de números naturales es ordenado, es decir, dados dos naturales cualquiera uno de ellos es menor que otro. Los símbolos que se utilizan para establecer la relación de orden entre dos números son:

Números y fracciones-Foto14

Números y fracciones-Foto15

Primero comparas la cantidad de cifras de los números. Es mayor el número que tiene más cifras.

Por ejemplo:
 23 456 y 230 598.

Como 23 456 tiene 5 cifras y 230 598 tiene 6 cifras, entonces 230 598 es mayor.

Números y fracciones-Foto16

Si ambos números tienen igual cantidad de cifras, entonces comparas la primera cifra de la izquierda. Es mayor el número que tiene un dígito mayor en esa posición.

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto19.

Como 3 es mayor que 1, entonces 30 456 es mayor que 18 479.

Números y fracciones-Foto17

Si la primera cifra de la izquierda es igual en ambos números, entonces comparas la cifra de la segunda posición. Es mayor el número que tiene el dígito mayor en esa posición.

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto20.

Como 7 es mayor que 4, entonces 57 480 es mayor que 54 990.
También podrías comparar el número completo, es decir 57 y 54.

Si las dos primeras cifras de la izquierda son iguales, entonces comparas las de la siguiente posición.

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto21.

Como 8 es mayor que 5, entonces 348 300 es mayor que 345 268.
También podrías comparar el número completo, es decir 345 y 348.

Números y fracciones-Foto22

Siguiendo esta misma dinámica puedes comparar dos números de cualquier cantidad de cifras.

Por ejemplo:
los números 19 045, 34 608, 18 890, 34 450 y 120 340 ordenados de menor a mayor quedan así:

Números y fracciones-Foto23

Sistema de numeración decimal

Características

Los símbolos que se usan en el sistema de numeración son los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Su combinación puede formar infinitos números.

Ejemplo:

Números y fracciones-Foto24

La base del sistema decimal es diez. Diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediatamente superior. Es decir, en un numeral cada posición es diez veces mayor que la que está inmediatamente a su derecha.

Números y fracciones-Foto25

En un numeral, cada dígito tiene un valor relativo y un valor posicional, es decir cada dígito tiene un valor de acuerdo al lugar que ocupa en el número.

Ejemplo:

Números y fracciones-Foto26

En este número el 3 ocupa el lugar de las decenas, por lo tanto su valor es 30 (3 x 10).

Para que lo entiendas mejor puedes descomponer el número: 500 + 30 + 7

En este número el 3 ocupa el lugar de las centenas, por lo tanto, su valor es 300 (3 x 100).

Para que lo entiendas mejor puedes descomponer el número: 300 + 20 + 9

Números y fracciones-Foto28

En este número el 3 ocupa el lugar de las centenas de mil, por lo tanto, su valor es 300 000
(3 x 100 000).

Para que lo entiendas mejor puedes descomponer el número: 300 000 + 9 000 + 500 + 80 + 4

Números y fracciones-Foto29

En este número el 3 ocupa el lugar de las unidades de mil, por lo tanto, su valor es 3 000 (3 x 1 000).
Para que lo entiendas mejor puedes descomponer el número: 70 000 + 3 000 + 600 + 1

Números y fracciones-Foto30

Descomposición canónica

Un número se puede descomponer en dos o más sumandos. Por ejemplo, el número 1 570, lo puedes descomponer como:

1 000 + 570
1 000 + 500 + 50 + 20
1 500 + 70

Hay muchas otras descomposiciones, pero hay una especial que llamamos canónica y que corresponde a la escritura del número como suma de los múltiplos de …10 000, 1 000, 100, 10, que lo forman.

Por ejemplo: 1 000 + 500 + 70

Algunos ejemplos de descomposiciones canónicas:

Números y fracciones-Foto31

Representación de números en la recta numérica

Para representar un número en la recta numérica es importante conocer el contexto en que están los números que queremos representar.

Ejemplo
Ubiquemos en la recta numérica los números de la siguiente situación:
Juan debe recorrer 1 480 km para ir desde Copiapó a Temuco y 1 820 para ir a Puerto Montt.

Para representar los números de nuestro ejemplo en la recta numérica debemos seguir los siguientes pasos:

1) Dibujamos la recta con flechas en ambos extremos porque no parte desde cero
2) Elegimos un tramo: entre 1 400 y 1 900
3) Determinamos la secuencia: de 100 en 100
4) Separamos la recta de acuerdo a la secuencia con espacios iguales
5) Ubicamos el primer número: 1 480. Este número está entre 1 400 y 1 500
6) Ubicamos el segundo número: 1 820. Este número está entre 1 800 y 1 900

Números y fracciones-Foto32

Otro ejemplo:
Las edades de cinco hermanos son: Juan Pablo, 19; Cristóbal, 17; María Jesús, 12; Camila, 11 y Benjamín, 2.

1) Dibujamos la recta sólo con flecha en el extremo derecho porque parte en cero
2) Elegimos un tramo: entre 0 y 20
3) Determinamos la secuencia: de 2 en 2
4) Separamos la recta de acuerdo a la secuencia con espacios iguales
5) Ubicamos el número 19. Está entre 18 y 20
6) Ubicamos el número 17. Está entre 16 y 18
7) Ubicamos el número 12. Está entre 11 y 13
8) Ubicamos el número 11. Está entre 10 y 12
9) Ubicamos el número 2. Está entre 1 y 3.

Números y fracciones-Foto33

Las flechas en la recta se dibujan porque los números continúan en esa dirección. Por ejemplo, en la primera recta hay números antes y después de los tramos elegidos. Hay números antes de 1 400 y también después de 1 900.

En la segunda recta, sólo hay flecha en el extremo derecho, porque antes del cero no hay números naturales.

Secuencias numéricas

Los problemas de secuencias numéricas (llamadas normalmente series, aunque el término no sea muy correcto) son clásicos en Matemática. Se trata normalmente de averiguar cómo continúa una sucesión de números enteros de la que tenemos algunos términos o se nos indica la regla de formación. La secuencia puede ser ascendente o descendente.

Algunos ejemplos:

1)
Números y fracciones-Foto34

La regla de formación es sumar 50, por lo tanto los números que completan la secuencia son:

Números y fracciones-Foto35

2)

La regla de formación es restar 100, por lo tanto los números que completan la secuencia son:

Números y fracciones-Foto37

Redondeo de cantidades

¿Cómo redondeamos números?

1) Los números que terminan en un dígito menor que 5, deberán ser redondeados al número menor anterior terminado en cero.

Por ejemplo: 84 redondeado a la decena más próxima es 80.

84 está entre 80 y 90, pero más cerca de 80.

Números y fracciones-Foto38

2) Los números que terminan en un dígito igual o mayor que 5 deberán ser redondeados a la próxima decena.

Por ejemplo: 88 redondeado a la decena más próxima es 90.

88 está entre 80 y 90, pero más cerca de 90.

Números y fracciones-Foto39

¿Cómo redondear números mayores?

Números y fracciones-Foto40 redondeado a la Números y fracciones-Foto41 más cercana es
34 580, porque está entre 34 570 y 34 580, pero más cerca de 34 580.

Números y fracciones-Foto42 redondeado a la Números y fracciones-Foto43 más cercana es
34 600, porque está entre 34 500 y 34 600, pero más cerca de 34 600.

Números y fracciones-Foto44 redondeado a la  Números y fracciones-Foto45más cercana es
35 000
, porque está entre 34 000 y 35 000, pero más cerca de 35 000.

Operaciones con números naturales

La adición

Baltazar recorrió 345 km para llegar a Talca y 151 km más para llegar a Chillán. ¿Cuántos kilómetros recorrió en total?

Números y fracciones-Foto46

Términos de la adición

Números y fracciones-Foto47

Propiedades de la adición

1) Conmutativa: en cualquier adición podemos cambiar el orden de los sumandos sin que la suma se altere.

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto48

2) Asociativa: en cualquier adición de tres o más sumandos, la suma total es la misma independientemente del orden en que se sumen los sumandos. Es decir, da lo mismo como agrupes los números para sumarlos porque la suma total es la misma.

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto49

3) Elemento Neutro: en una adición, cualquier número sumado con cero es igual al mismo número.

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto50

La sustracción

Elisa debe recorrer 378 km para llegar a su lugar de veraneo. Si ha recorrido 124 km, ¿cuántos le faltan para llegar?

Foto 51

Términos de la sustracción

Números y fracciones-Foto52

En toda sustracción el minuendo es siempre el término mayor.

La sustracción es la operación inversa a la adición. Por eso, para comprobar si la diferencia está correcta, sumamos la resta más el sustraendo y debemos obtener el minuendo.

resta      sustraendo       minuendo
2 5 4  +       1 2 4          =      3 7 8

Por la reversibilidad de estas dos operaciones, podemos resolver una sustracción como una suma con un sumando desconocido.

Números y fracciones-Foto53

La multiplicación

En cada grupo hay 8 gallinas. ¿Cuántas hay en total?

Números y fracciones-Foto54

Podrías resolver sumando así:
8 + 8 + 8 = 24

Pero, como no siempre es posible resolver una multiplicación como una adición de sumandos iguales, es importante que aprendas a multiplicar.

3 veces 8 = 24
3 x 8 = 24

Términos de la multiplicación

Números y fracciones-Foto55

Los números que se multiplican se llaman factores y el resultado es el producto.

Tablas de multiplicar

Para multiplicar es importante que aprendas las tablas.

Números y fracciones-Foto56

Observa que:

1) Cualquier número multiplicado por cero es igual a cero (8 x 0 = 0)
2) Cualquier número multiplicado por 1 es igual al mismo número (8 x 1 = 8)

Propiedades de la multiplicación

1) Conmutativa: en cualquier multiplicación podemos cambiar el orden de los factores sin que el producto se altere.

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto57

2) Asociativa: en cualquier multiplicación de tres o más factores, el producto es el mismo independientemente del orden en que se multipliquen los factores. Es decir, da lo mismo como agrupes los números para multiplicarlos porque el producto siempre es el mismo.

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto58

3)
Elemento neutro: en una multiplicación, cualquier número multiplicado por 1 es igual al mismo número.

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto59
4) Propiedad distributiva
: la suma de dos números multiplicada por un tercero es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número.

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto60
Multiplicaciones con más de una cifra en el segundo factor

Números y fracciones-Foto61

Multiplicamos el 6 por el número que está en el lugar de las unidades (6 x 4 = 24). Escribimos el dígito de la unidad (4) y reservamos la decena (2).

Números y fracciones-Foto62

Multiplicamos el 6 por el número que está en el lugar de las decenas y al resultado le agregamos la reserva (6 x 3 = 18 Números y fracciones-Foto64 18 + 2 = 20). Escribimos el dígito de la unidad (0) y reservamos la decena (2).

Números y fracciones-Foto63

Multiplicamos el 6 por el número que está en el lugar de las centenas y al resultado le agregamos la reserva (6 x 2 = 12 Números y fracciones-Foto64 12 + 2 = 14). Escribes el número 14.

Multiplicaciones con dos cifras en el segundo factor

Números y fracciones-Foto65

Multiplicamos el 216 por el número del segundo factor que está en el lugar de las unidades (3). Escribimos el resultado parcial.

Números y fracciones-Foto66

Multiplicamos el 216 por el número del segundo factor que está en el lugar de las decenas (6). Cómo estamos multiplicando la decena, entonces el primer número que multiplicamos lo ponemos en el lugar de las decenas (el 6 abajo del 4).

Números y fracciones-Foto67

Para obtener el resultado final, sumamos los resultados parciales.

Cuando multiplicamos por el número de las decenas, en este caso por 6, estamos multiplicando en realidad por 60, porque ese dígito está en el lugar de las decenas. Por eso debemos dejar un espacio al comenzar a escribir el producto. Ese espacio * corresponde al cero. Observemos la multiplicación descomponiendo el número del segundo factor.

Números y fracciones-Foto68

Multiplicaciones por 10, 100, 1 000…20, 200, 2 000…

Una multiplicación por múltiplo de 10 (10, 100, 1 000…) puede realizarse mentalmente, porque basta con agregar al número del primer factor tantos ceros como tiene el múltiplo de 10 por el que se está multiplicando.

Ejemplos:
Números y fracciones-Foto69

Una multiplicación por un múltiplo de 10 (20, 200, 2 000…30, 300, 3 000, 40, 400, 4 000…) podemos realizarla multiplicando el número sin los ceros y luego agregamos tantos ceros como los que tenga el múltiplo de 10.

Ejemplos:
Números y fracciones-Foto70

Múltiplos de un número

Son los números naturales que resultan de multiplicar ese número por otros números naturales.Decimos que un número es múltiplo de otro si le contiene un número entero de veces.

– El cero (0) solamente tiene un múltiplo, que es el 0. Los demás números naturales tienen infinito número de múltiplos
– El cero (0) es múltiplo de todos los números
– Todos los números son múltiplos de 1
– Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8
– En los múltiplos de 3, la suma de sus cifras es también múltiplo de 3
– Los múltiplos de 5 terminan en 0, o en 5
– Los múltiplos de 6 terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y la suma de sus cifras es múltiplo de 3
– En los múltiplos de 9, la suma de sus cifras es múltiplo de 9

Múltiplos de 2
{0,2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22…}

Múltiplos de 3
{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33…}

Múltiplos de 4
{0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44…}

Múltiplos de 5
{0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55…}

Múltiplos de 6
{0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66…}

Múltiplos de 7
{0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77…}

Múltiplos de 8
{0, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88…}

Múltiplos de 9
{0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99…}

Múltiplos de 10
{0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 110…}

Múltiplos de 11
{0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121…}

Múltiplos de 12
{0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132…}

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo entre dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de esos números, exceptuando el cero.

Entonces para encontrar el MCM entre dos números, por ejemplo 3 y 4, debemos:

1) Encontrar los múltiplos de esos números:
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30…}
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36…}

2) Escribir los múltiplos comunes, sin considerar el 0:
Múltiplos comunes entre 3 y 4: 12, 24…

3) Por último, seleccionar el menor de los múltiplos comunes, es decir el 12.
MCM (3 y 4) = 12.

Veamos otros ejemplos:

MCM entre 4 y 5

M(4) = Números y fracciones-Foto71
M (5) =Números y fracciones-Foto72

MCM (4 y 5) =Números y fracciones-Foto73

MCM entre 8 y 6

M(8) =Números y fracciones-Foto74

M(6) =Números y fracciones-Foto75

MCM (8 y 6) =Números y fracciones-Foto76

La división

La división es la operación inversa de la multiplicación y consiste en encontrar cuántas veces está contenido un número en otro.

¿Cómo repartir 18 en 3 grupos iguales?

Números y fracciones-Foto77

Entonces quedan 3 grupos de 6 Números y fracciones-Foto78 cada uno y sobran 0 Números y fracciones-Foto78 .

18 : 3 = 6 porque: 6 x 3 = 18
0//

Una división cuyo resto es cero es una división exacta.

Veamos otro ejemplo

¿Cómo repartir 14 en 4 grupos iguales?

Números y fracciones-Foto79

14 : 4 = 4
2//
Entonces quedan 4 grupos de 3 Números y fracciones-Foto80 cada uno y sobran 2 Foto 80

Una división cuyo resto es mayor que cero es una división inexacta.

Términos de la división

Números y fracciones-Foto81

División con una cifra en el divisor

Números y fracciones-Foto82

– Separamos las cifras (esto es, en el dividendo, desde la izquierda hacia la derecha, tomamos tantas cifras o dígitos, como sea necesario para formar un número que sea igual o mayor que el divisor). En este caso, tomamos las dos primeras cifras, 26 porque es mayor que el divisor (7).

– Marcamos 26’1 y calculamos cuántas veces cabe el 7 en el 26 (7 x 1 = 7; 7 x 2 = 14; 7 x 3 = 21). Cabe 3 veces porque el resultado de 7 x 3 es el más cercano a 26 “sin pasarse”.

– Decimos 7 x 3 = 21, pero como tenemos 26, sobran 5. Al lado del número que sobra (5), bajamos el número que sigue (1). Entonces nos queda 51.

– Ahora decimos, ¿cuántas veces cabe el 7 en 51?, es decir buscamos el número que multiplicado por 7, nos dé como resultado un número cercano a 51, pero “sin pasarse”. Cabe 7 veces porque 7 x 7 = 49.
– Decimos 7 x 7 = 49, pero como tenemos 51, sobran 2.

– Termina la división porque no hay más números para bajar.

Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.

Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 si termina en 0 o un dígito par.

Ejemplos:
14, 56, 342, 1 340, 30 118.

Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Ejemplos:
42, 234, 4 572, 12 465, 389 112.

Divisibilidad por 4: un número es divisible por 4 si las dos últimas cifras son 00 o un múltiplo de 4.

Ejemplos:
200, 340, 1 232, 256, 23 700.

Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 si la última de sus cifras es 5 o es 0.

Ejemplos:
5, 35, 2 145, 18 435, 23 590.

Divisibilidad por 9: un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Ejemplos:
423, 945, 1 098, 53 640, 288 036.

Divisibilidad por 10: un número es divisible por 10 si termina en 0.

Ejemplos:
400, 230, 450, 1 090, 38 650.

Divisibilidad por 11

Debemos hacer lo siguiente,
Sumamos las cifras que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo de 11.

Ejemplos:
11, 4 565, 9 889, 3 478, 33.

Divisores de un número

Los divisores de un número son los que lo dividen en forma exacta, es decir, que la división por ese número dé resto cero.

Por ejemplo:
Tenemos 12 frutillas. ¿Cómo podemos repartirlas en partes iguales?

Para averiguarlo tenemos que calcular los divisores de 12, es decir, los números que dividen a 12 y dan de resto cero.

Números y fracciones-Foto83

12 ÷ 1 = 12
0//

1 grupo con 12 frutillas

Números y fracciones-Foto84

0//

2 grupos con 6 frutillas

Números y fracciones-Foto85
0//

3 grupos con 4 frutillas

Números y fracciones-Foto86

0//

4 grupos con 3 frutillas

Números y fracciones-Foto87
0//

6 grupos con 2 frutillas

Números y fracciones-Foto88
0//

12 grupos con 1 frutilla

Entonces podemos decir que los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Otros ejemplos de divisores de un número:

D(15) = {1, 3, 5, 15}
El 15 lo puedes dividir por 1, 3, 5 y 15 en forma exacta, es decir, con resto 0.

D (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
El 48 lo puedes dividir por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48 en forma exacta, es decir, con resto 0.

D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
El 36 lo puedes dividir por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36 en forma exacta, es decir, con resto 0.