Números hasta el 1 000 000

Los dígitos son los números de 1 al 9. Al combinarlos podemos formar cualquier número. 
Ya formamos los números hasta el 100, te invitamos ahora a formar los números hasta el 1 000 000.

  • Primer Ciclo
  • Autor: Icarito
  • Última actualización: 06/06/2012
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Operaciones con números naturales

La adición

Baltazar recorrió 345 km para llegar a Talca y 151 km más para llegar a Chillán. ¿Cuántos kilómetros recorrió en total?

Números y fracciones-Foto46

Términos de la adición

Números y fracciones-Foto47

Propiedades de la adición

1) Conmutativa: en cualquier adición podemos cambiar el orden de los sumandos sin que la suma se altere.

Por ejemplo:


Números y fracciones-Foto48

2) Asociativa:
 en cualquier adición de tres o más sumandos, la suma total es la misma independientemente del orden en que se sumen los sumandos. Es decir, da lo mismo como agrupes los números para sumarlos porque la suma total es la misma.

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto49


3) Elemento Neutro
: en una adición, cualquier número sumado con cero es igual al mismo número. 

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto50


La sustracción


Elisa debe recorrer 378 km para llegar a su lugar de veraneo. Si ha recorrido 124 km, ¿cuántos le faltan para llegar?

Foto 51

Términos de la sustracción

Números y fracciones-Foto52

En toda sustracción el minuendo es siempre el término mayor.

La sustracción es la operación inversa a la adición. Por eso, para comprobar si la diferencia está correcta, sumamos la resta más el sustraendo y debemos obtener el minuendo.

resta      sustraendo       minuendo
2 5 4  +       1 2 4          =      3 7 8


Por la reversibilidad de estas dos operaciones, podemos resolver una sustracción como una suma con un sumando desconocido.

Números y fracciones-Foto53

La multiplicación

En cada grupo hay 8 gallinas. ¿Cuántas hay en total?

Números y fracciones-Foto54

Podrías resolver sumando así:
8 + 8 + 8 = 24

Pero, como no siempre es posible resolver una multiplicación como una adición de sumandos iguales, es importante que aprendas a multiplicar.

3 veces 8 = 24
3 x 8 = 24

Términos de la multiplicación

Números y fracciones-Foto55

Los números que se multiplican se llaman factores y el resultado es el producto.

Tablas de multiplicar

Para multiplicar es importante que aprendas las tablas.

Números y fracciones-Foto56

Observa que:

1) Cualquier número multiplicado por cero es igual a cero (8 x 0 = 0)
2) Cualquier número multiplicado por 1 es igual al mismo número (8 x 1 = 8)

Propiedades de la multiplicación

1) Conmutativa: en cualquier multiplicación podemos cambiar el orden de los factores sin que el producto se altere. 

Por ejemplo:
  
Números y fracciones-Foto57

2) Asociativa: en cualquier multiplicación de tres o más factores, el producto es el mismo independientemente del orden en que se multipliquen los factores. Es decir, da lo mismo como agrupes los números para multiplicarlos porque el producto siempre es el mismo. 

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto58

3)
Elemento neutro: en una multiplicación, cualquier número multiplicado por 1 es igual al mismo número. 

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto59
4) Propiedad distributiva
: la suma de dos números multiplicada por un tercero es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. 

Por ejemplo:

Números y fracciones-Foto60
Multiplicaciones con más de una cifra en el segundo factor


Números y fracciones-Foto61 

Multiplicamos el 6 por el número que está en el lugar de las unidades (6 x 4 = 24). Escribimos el dígito de la unidad (4) y reservamos la decena (2).

Números y fracciones-Foto62 

Multiplicamos el 6 por el número que está en el lugar de las decenas y al resultado le agregamos la reserva (6 x 3 = 18 Números y fracciones-Foto64 18 + 2 = 20). Escribimos el dígito de la unidad (0) y reservamos la decena (2).

Números y fracciones-Foto63 

Multiplicamos el 6 por el número que está en el lugar de las centenas y al resultado le agregamos la reserva (6 x 2 = 12 Números y fracciones-Foto64 12 + 2 = 14). Escribes el número 14.

Multiplicaciones con dos cifras en el segundo factor

Números y fracciones-Foto65 

Multiplicamos el 216 por el número del segundo factor que está en el lugar de las unidades (3). Escribimos el resultado parcial.

Números y fracciones-Foto66 

Multiplicamos el 216 por el número del segundo factor que está en el lugar de las decenas (6). Cómo estamos multiplicando la decena, entonces el primer número que multiplicamos lo ponemos en el lugar de las decenas (el 6 abajo del 4).

Números y fracciones-Foto67 

Para obtener el resultado final, sumamos los resultados parciales.

Cuando multiplicamos por el número de las decenas, en este caso por 6, estamos multiplicando en realidad por 60, porque ese dígito está en el lugar de las decenas. Por eso debemos dejar un espacio al comenzar a escribir el producto. Ese espacio * corresponde al cero. Observemos la multiplicación descomponiendo el número del segundo factor.

Números y fracciones-Foto68

Multiplicaciones por 10, 100, 1 000...20, 200, 2 000...

Una multiplicación por múltiplo de 10 (10, 100, 1 000...) puede realizarse mentalmente, porque basta con agregar al número del primer factor tantos ceros como tiene el múltiplo de 10 por el que se está multiplicando.

Ejemplos:
Números y fracciones-Foto69

Una multiplicación por un múltiplo de 10 (20, 200, 2 000...30, 300, 3 000, 40, 400, 4 000...) podemos realizarla multiplicando el número sin los ceros y luego agregamos tantos ceros como los que tenga el múltiplo de 10.

Ejemplos:
Números y fracciones-Foto70

Múltiplos de un número

Son los números naturales que resultan de multiplicar ese número por otros números naturales.Decimos que un número es múltiplo de otro si le contiene un número entero de veces.

- El cero (0) solamente tiene un múltiplo, que es el 0. Los demás números naturales tienen infinito número de múltiplos
- El cero (0) es múltiplo de todos los números
- Todos los números son múltiplos de 1
- Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8
- En los múltiplos de 3, la suma de sus cifras es también múltiplo de 3
- Los múltiplos de 5 terminan en 0, o en 5
- Los múltiplos de 6 terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y la suma de sus cifras es múltiplo de 3
- En los múltiplos de 9, la suma de sus cifras es múltiplo de 9

Múltiplos de 2
{0,2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22...}

Múltiplos de 3
{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33...}

Múltiplos de 4
{0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44...}

Múltiplos de 5
{0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55...}

Múltiplos de 6
{0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66...}

Múltiplos de 7
{0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77...}

Múltiplos de 8
{0, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88...}

Múltiplos de 9
{0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99...}

Múltiplos de 10
{0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 110...}

Múltiplos de 11
{0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121...}

Múltiplos de 12
{0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132...}

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo entre dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de esos números, exceptuando el cero.

Entonces para encontrar el MCM entre dos números, por ejemplo 3 y 4, debemos:

1) Encontrar los múltiplos de esos números:
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30...}
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...}

2) Escribir los múltiplos comunes, sin considerar el 0:
Múltiplos comunes entre 3 y 4: 12, 24...

3) Por último, seleccionar el menor de los múltiplos comunes, es decir el 12.
MCM (3 y 4) = 12.

Veamos otros ejemplos:

MCM entre 4 y 5

M(4) = Números y fracciones-Foto71

 
M (5) =Números y fracciones-Foto72

MCM (4 y 5) =Números y fracciones-Foto73

MCM entre 8 y 6

M(8) =Números y fracciones-Foto74

M(6) =Números y fracciones-Foto75

MCM (8 y 6) =Números y fracciones-Foto76

La división


La división es la operación inversa de la multiplicación y consiste en encontrar cuántas veces está contenido un número en otro.

¿Cómo repartir 18 en 3 grupos iguales?

Números y fracciones-Foto77

Entonces quedan 3 grupos de 6 Números y fracciones-Foto78 cada uno y sobran 0 Números y fracciones-Foto78 .

18 : 3 = 6 porque: 6 x 3 = 18
0//

Una división cuyo resto es cero es una división exacta.

Veamos otro ejemplo

¿Cómo repartir 14 en 4 grupos iguales?

Números y fracciones-Foto79

14 : 4 = 4
2//
Entonces quedan 4 grupos de 3 Números y fracciones-Foto80 cada uno y sobran 2 Foto 80

Una división cuyo resto es mayor que cero es una división inexacta.

Términos de la división

Números y fracciones-Foto81

División con una cifra en el divisor

Números y fracciones-Foto82

- Separamos las cifras (esto es, en el dividendo, desde la izquierda hacia la derecha, tomamos tantas cifras o dígitos, como sea necesario para formar un número que sea igual o mayor que el divisor). En este caso, tomamos las dos primeras cifras, 26 porque es mayor que el divisor (7). 

- Marcamos 26’1 y calculamos cuántas veces cabe el 7 en el 26 (7 x 1 = 7; 7 x 2 = 14; 7 x 3 = 21). Cabe 3 veces porque el resultado de 7 x 3 es el más cercano a 26 “sin pasarse”. 

- Decimos 7 x 3 = 21, pero como tenemos 26, sobran 5. Al lado del número que sobra (5), bajamos el número que sigue (1). Entonces nos queda 51.

- Ahora decimos, ¿cuántas veces cabe el 7 en 51?, es decir buscamos el número que multiplicado por 7, nos dé como resultado un número cercano a 51, pero “sin pasarse”. Cabe 7 veces porque 7 x 7 = 49.
- Decimos 7 x 7 = 49, pero como tenemos 51, sobran 2.

- Termina la división porque no hay más números para bajar.

Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.

Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 si termina en 0 o un dígito par. 

Ejemplos:
14, 56, 342, 1 340, 30 118.

Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 

Ejemplos:
42, 234, 4 572, 12 465, 389 112.

Divisibilidad por 4: un número es divisible por 4 si las dos últimas cifras son 00 o un múltiplo de 4. 

Ejemplos:
200, 340, 1 232, 256, 23 700.

Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 si la última de sus cifras es 5 o es 0. 

Ejemplos:
5, 35, 2 145, 18 435, 23 590.

Divisibilidad por 9: un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 

Ejemplos:
423, 945, 1 098, 53 640, 288 036.

Divisibilidad por 10: un número es divisible por 10 si termina en 0.

Ejemplos:
400, 230, 450, 1 090, 38 650.

Divisibilidad por 11

Debemos hacer lo siguiente,
Sumamos las cifras que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo de 11.

Ejemplos:
11, 4 565, 9 889, 3 478, 33.

Divisores de un número

Los divisores de un número son los que lo dividen en forma exacta, es decir, que la división por ese número dé resto cero.

Por ejemplo: 
Tenemos 12 frutillas. ¿Cómo podemos repartirlas en partes iguales?

Para averiguarlo tenemos que calcular los divisores de 12, es decir, los números que dividen a 12 y dan de resto cero.

Números y fracciones-Foto83

12 ÷ 1 = 12
0//

1 grupo con 12 frutillas

Números y fracciones-Foto84

0//

 2 grupos con 6 frutillas

Números y fracciones-Foto85
0//

3 grupos con 4 frutillas

Números y fracciones-Foto86
 
0//

4 grupos con 3 frutillas

Números y fracciones-Foto87
0//

6 grupos con 2 frutillas

Números y fracciones-Foto88
0//

12 grupos con 1 frutilla

Entonces podemos decir que los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Otros ejemplos de divisores de un número:

D(15) = {1, 3, 5, 15}
El 15 lo puedes dividir por 1, 3, 5 y 15 en forma exacta, es decir, con resto 0.

D (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
El 48 lo puedes dividir por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48 en forma exacta, es decir, con resto 0.

D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
El 36 lo puedes dividir por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36 en forma exacta, es decir, con resto 0.