Séptimo año: ¿Qué es una potencia?

  • Segundo Ciclo
  • Autor: Icarito
  • Última actualización: 31/01/2013
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Séptimo año: ¿Qué es una potencia?

Un día, la señora Ana le dice a su hijo Pedro que le ayude con las tareas de la casa, pero como a él no le gusta eso le dice a su mamá que le ayuda si le da algo de dinero a diario. Su mamá le dice que le da $500 por cada día que ayude, pero como Pedro es tan bueno en matemáticas, le dice que mejor le de $50 por el primer día y que cada día le dé el doble de lo que le dio el día anterior.  Al ver una cantidad tan pequeña, su mamá acepta.  Al final de la semana, Pedro tiene mucho más dinero del que su mamá pensaba, ¿sabes por qué? Observa las cuentas que hicieron cada uno de ellos:

¿Sabes por qué Pedro sabía que iba a obtener más dinero desde el principio?  Él no hizo todos los cálculos en su cabeza, pero sabía qué era lo que debía hacer: solo debía multiplicar por dos.

Pero como Pedro sabía que todo esto se podía escribir de una manera mucho más corta, solo pensó en 50 × 2 elevado a 6, pues pensar en esto es lo mismo que pensar en todo lo anterior.
Observa que en lugar de pensar en cada uno de los 2 por los que debía multiplicar, Pedro solo pensó en la cantidad de veces que debía multiplicar el número 2, esto es lo que significa el pequeño 6 que está en la parte superior del 2.

Siguiendo la misma estrategia de Pedro, ¿sería mejor si pidiera solo $10 por el primer día y después tres veces lo que se le dio el día anterior? Responde esta pregunta escribiendo las operaciones de la forma más corta, como lo hizo Pedro, y explicando lo que significa cada uno de los números que escribes (en el caso de Pedro, escribirías qué significa el 50, qué significa el 2 y qué significa el 6).  Y si Pedro ayudara a su Mamá durante dos semanas, solo pidiera $1, por el primer día y después el doble de lo que le dio el día anterior ¿Cuánto dinero tendría al final de las dos semanas?

Un Papel que llega hasta la Luna, pero Solo en Matemáticas…

¿Sabes a qué distancia están la Tierra y la Luna?  Están aproximadamente a 384.000 kilómetros.  ¿Y sabes cuál es el grosor de una hoja de papel? Una hoja tiene de grueso aproximadamente 0,084 milímetros.  Pero hay algo aún más sorprendente: haciendo algunos cálculos matemáticos podemos ver que si doblamos una hoja de papel las suficientes veces, esta hoja podría llegar hasta la luna.

 ¿Sorprendido?  ¿Quieres que te lo muestre?  Observa: en la siguiente tabla aparecen la altura que va tomando el papel cada vez que se dobla.  Ten en cuenta que cuando un papel se dobla por la mitad, su altura es el doble de la anterior; así, si el papel mide 0,084 mm, después del primer doblés medirá 0,084 × 2 = 0,168 mm; después del segundo doblez medirá 0,168 × 2 = 0,336 mm; y de esta manera se continúa cada vez que se dobla.


Nota lo siguiente: cada uno de los resultados puede obtenerse multiplicando el resultado anterior por 2.

 

Nota que el pequeño número al lado del 2 indica cuántas veces se debe multiplicar 0,084 por 2.

Fíjate ahora que después doblar 21 veces el papel, ya tiene una altura de un poco más de 1,7 kilómetros, entonces, ¿Cuántas veces tendremos que doblar la hoja para llegar a la luna? Puedes utilizar una calculadora para verificar que 0,084 × 2(39) es un poco más grande que 384.000 (la distancia aproximada de la tierra a la luma) entonces ¿Cuántas veces debes doblar la hoja de papel? ¿Por qué?

A modo de experimento, toma una hoja de papel, la más grande que encuentres, y dóblala por la mitad una y otra vez y cuenta cuántas veces fuiste capaz de doblarla ¿pudiste llegar a la luna?

Para profundizar:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Potenciabaseentera.htm