Calculando áreas

El área o superficie es la medida de la región interior de un polígono.

  • Segundo Ciclo
  • Autor: Icarito
  • Última actualización: 24/08/2010
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Área de cuadriláteros y triángulos

Cuadriláteros

Dentro de los cuadriláteros podemos distinguir tres grupos: los paralelogramos, los trapecios y trapezoides.

1) Paralelogramos: son aquellos cuadriláteros que poseen dos pares de lados paralelos.

Cuadrados y rectángulos

Dibujaremos un cuadrado de 3 cm y colocaremos sobre él centímetros cuadrados.



Obtuvimos 9 cm2, lo mismo que si multiplicamos lado por lado, de este modo:

3 cm x 3 cm = 9 cm2

Si llamamos a al lado del cuadrado, podemos concluir que:

El área de un cuadrado es a x a = a2

El área de un rectángulo se calcula de forma semejante, lo único que cambia es que las medidas de los lados son distintas. Al largo, lo denominaremos a, y al ancho, b. Calcularemos el área del siguiente rectángulo con centímetros cuadrados.



El área equivale a 8 cm2.

Matemáticamente se puede obtener multiplicando largo por ancho.

En fórmula, el área de un rectángulo es a x b, donde a es el alto y b, la altura.

Rombos y romboides

Estos paralelogramos no tienen ángulos rectos, por lo que en ellos no se puede aplicar la misma fórmula. Para calcular su área, recurriremos a un elemento secundario: la altura, un segmento perpendicular (forma ángulos de 90°) que une un lado con su vértice opuesto.

Medidas-Foto12

En el rombo y romboide dibujados, DE corresponde a la altura.

¿Por qué necesitamos la altura para calcular el área?

Trazaremos una paralela a la altura desde C y prolongaremos el lado AB hasta obtener F.
Se formó un triángulo BFC, congruente con AED y nos quedó el rectángulo EFCD.

Medidas-Foto13

El rectángulo formado tiene como largo el lado del rombo o romboide, y su ancho es la altura dibujada. Entonces, concluimos que:

El área del rombo o romboide = b x h, donde b es la base y h, la altura

En resumen, cualquier paralelogramo tiene una sola fórmula para calcular su área, ya que, en el cuadrado y en el rectángulo, un lado es la base y el otro, la altura. Entonces:

Área de un paralelogramo = b x h, donde b es la base y h, la altura

Veamos un ejemplo:

Calculemos el área de un rombo que tiene 4,6 cm por lado y su altura es de 3 cm. Apliquemos la fórmula:

Área rombo = b x h
Área rombo = 4,6 cm x 3 cm
Área rombo = 13,8 cm2

2) Trapecios: sabemos que los trapecios son cuadriláteros que tienen un par de lados paralelos llamados bases. Sus lados, es decir, los no paralelos, no son perpendiculares a las bases, salvo el trapecio rectángulo que tiene perpendicular uno de ellos. Para el cálculo de su área también necesitamos considerar la altura.

Medidas-Foto14

Para formar un rectángulo trazamos la paralela a DE desde B y prolongamos DC hasta formar F.

Nos queda el Medidas-Foto15 AED Medidas-Foto16 Medidas-Foto15 CFB y nuestro rectángulo es EBFD.



El rectángulo tiene como largo la mitad de la suma de las bases del trapecio y su ancho es la altura que trazamos. El área del trapecio se puede calcular aplicando la fórmula:

Medidas-Foto18

Calculemos el área de nuestro trapecio:



3) Trapezoides: estos cuadriláteros no poseen lados paralelos.

Medidas-Foto20

Para obtener el área de un trapezoide debemos aprender primero a calcular el área de un triángulo.

Triángulos

El cálculo del área de un triángulo cualquiera, se relaciona con el área de un romboide:

Área de un romboide = base x altura

¿Cómo podemos relacionar triángulo y romboide?

Lo haremos a través del siguiente dibujo:

Medidas-Foto21

A nuestro Medidas-Foto15ABC, le trazaremos una paralela al lado AC a partir de B, y una paralela a AB a partir de C.

Medidas-Foto22
Se ha formado un romboide donde el Medidas-Foto15 ABC es la mitad de él.

Como el Medidas-Foto15 es la mitad del romboide obtenemos que el área del Foto 15 es igual a la mitad del área del romboide. Entonces:


Medidas-Foto23

Calculemos el área del siguiente triángulo:



Reemplazando los datos en la fórmula obtenemos:



Triángulo rectángulo:

Si el Medidas-Foto15 es rectángulo, su área se puede calcular por medio de sus catetos, que son los lados perpendiculares, porque un cateto es la altura del otro.
Entonces, la fórmula para su cálculo sería:

Medidas-Foto26

Calculemos el área del siguiente triángulo rectángulo:



Ahora que ya sabemos como obtener el área de un triángulo, podremos calcular el área de un trapezoide:

Consideremos el siguiente trapezoide:

Medidas-Foto20

Partiremos dibujando un trazo entre dos vértices opuestos para así obtener dos triángulos:

Medidas-Foto28

El área del trapezoide será la suma del área de ambos triángulos. Como sabemos que el área de un triángulo es la mitad del producto entre la base y la altura, dibujaremos ahora la altura de ambos triángulos:

Medidas-Foto29

El área del trapezoide será entonces la siguiente:



Como ya sabemos calcular el área de triángulos y cuadriláteros podemos obtener el área de figuras formadas por ambos.

Para distinguir la parte que se debe calcular como resultado final se procede a achurarla, es decir, se pinta o raya imitando texturas.

Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas de figuras, por lo tanto, hay que descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el área total.

Veamos el siguiente ejemplo:
Tenemos la siguiente figura

Medidas-Foto31

Si te das cuenta, nuestra figura está formada por un rectángulo y un triángulo, por lo tanto, el área de ésta será la suma del área de ambas figuras.

Si AB = 8 m; BC = 3 m y la altura del triángulo es 2 m. ¿Cuál es el área de nuestra figura en cm2?

Área del rectángulo = AB x BC = 8 x 3 = 24 m2
Área del triángulo = AB x H = 8 x 2 = 16 m2

Área de nuestra figura = 24 m2 + 16 m2 = 40 m2

Ahora que ya tenemos el área de nuestra figura en m2, debemos buscar su equivalencia en cm2.
Recordemos que el cm2 es una unidad de medida más pequeña que el m2, por lo tanto, tendremos que multiplicar por potencias de 100 para obtener nuestro resultado en cm2.

Veamos la siguiente tabla:

Medidas-Foto32

40 x 100 = 4 000 dm2
4 000 x 100 = 400 000 cm2

El área de nuestra figura es 400 000 cm2.

Otras veces, para obtener el área achurada, debemos descomponer la figura en figuras conocidas y restar sus áreas.

Veamos un ejemplo:
Tenemos la siguiente figura

Medidas-Foto33

Nuestra figura está formada por un rectángulo y un trapecio. Para obtener el área achurada, debemos obtener el área del rectángulo y restarle el área del trapecio.

Si: AB = 1 200 mm; BC = EF = 600 mm. ¿Cuál es el área de lo achurado en cm2?

Área rectángulo = AB x BC = 1 200 x 600 = 720 000 mm2
Área trapecio = ((CD + EF) x BC) / 2 = (( 1 200 + 600) x 600) / 2 = (1 800 x 600) / 2 = 540 000 mm2

Ahora que ya tenemos el área de ambas figuras, podremos obtener el área achurada:

Área achurada = área rectángulo - área trapecio = 720 000 mm2 - 540 000 mm2 = 180 000 mm2

Busquemos ahora la equivalencia de 180 000 mm2 en cm2. Como el cm2 es una unidad de medida más grande que el mm2, debemos dividir por una potencia de 100.

Observemos la siguiente figura:

Medidas-Foto34

180 000 : 100 = 1 800 cm2

El área de nuestra figura es de 18 m2.