Números naturales (conjunto N)

Hay dos conjuntos numéricos que debemos reconocer: el conjunto de los números naturales que comienza con el 1 y el de los números cardinales que comieza con el 0. Te invitamos a conocerlos!

  • Segundo Ciclo
  • Última actualización: 31/05/2010
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Multiplicación y división de números naturales

En esta oportunidad, revisaremos otra operación matemática: la multiplicación.

La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales, que pueden repetirse muchas veces.

Por ejemplo, según esto, 2 x 5 significa 5 veces el 2.
Entonces:

Foto 16

Podemos graficarlo a través de conjuntos.
Utilizaremos estrellas:

Foto 17

También se puede relacionar la multiplicación con los pares ordenados, que se obtienen del producto cartesiano de 2 conjuntos.

Los pares se forman con un elemento de cada conjunto, en el orden que se dan.

Analizaremos el ejemplo anterior en base al producto cartesiano de:

Foto 18

Elementos

En la multiplicación encontramos los siguientes elementos:

- Los números que se multiplican se llaman factores
- El resultado se conoce como producto

Foto 19

Distinta especie

Los factores siempre tienen distinta especie.

Observa el siguiente ejemplo:

1 caja tiene 12 lápices de colores.
Las especies de nuestro ejemplo son caja y lápices. Analicemos el problema:

5 cajas tienen _______ lápices

Nos hablaban de los lápices de 1 caja y lo desconocido es lápices de 5 cajas. Para encontrar la solución, aplicamos multiplicación, porque 5 cajas tienen más lápices que 1 caja.

El resultado será:
12 x 5 = 60

La tabla pitagórica

La mejor forma para obtener el producto es la multiplicación. Cuando hablamos de esta operación, existe una tabla muy útil y fácil de construir: la tabla pitagórica .
En ella, hemos colocado los 13 primeros números cardinales en forma horizontal y vertical. Llenamos cada columna con una secuencia ascendente del número que la encabeza, empezando por el 0 y aumentando según el número.
Por ejemplo en la columna 5, aumentamos de 5 en 5.

A continuación, observa que cada columna y fila de un número coinciden en sus productos:

Foto 20

¿Sabes qué hemos hecho?
Las famosas tablas de multiplicar.

Hemos anotado los 13 primeros múltiplos de cada número.
Los múltiplos resultan de multiplicar cada número por ¡todos los números! Son infinitos.

Con nuestra tabla podremos resolver nuestro ejemplo:

Foto 21

Empezamos por las unidades:

- 5 veces 2 U = 10 U
- 10 U = 1 D

Colocamos 0 en las U y reservamos 1 D
Multiplicamos las D:
5 x 1 D = 5 D, y con la reserva que teníamos: 5D + 1D = 6D.
 
El resultado de nuestro ejemplo es 60.

Multiplicación con decenas, centenas, miles y millones

Antes de comenzar te daremos un consejo:

Para adquirir mayor rapidez y obtener los resultados sin errores, es importante memorizar las tablas de multiplicar. Eso se consigue ejercitando las multiplicaciones. Las tablas de multiplicar te servirán para toda la vida. Ahora profundizaremos el estudio de la multiplicación revisando cómo se multiplican factores más grandes.

Revisaremos el siguiente ejemplo:

Si tenemos 1 240 plantas, cada una con 25 hojas, ¿cuántas hojas tenemos en total?


 
División

¡Cuantas veces hemos deseado repartir cierto número de elementos entre determinado número de personas! En este caso debemos hacer uso de esta operación matemática: la división.
La división nos permite averiguar cuantas veces una cantidad está contenida en otra.

Los términos presentes en una división se denominan de la siguiente manera:

Foto 23

Ejemplo:
Si deseamos repartir 15 bolitas entre 5 personas, ¿cuántas bolitas recibirá cada una?

La operación que debemos hacer es la siguiente:

15 : 5 = 3

Cada persona recibirá 3 bolitas como muestra la figura:

Foto 24

En este caso, se trató de una división exacta, ya que, las 15 bolitas se repartieron por completo y cada persona recibió la misma cantidad: 3 bolitas.

Ahora,¿Qué pasaría si en vez de 15 bolitas tenemos 14 y debemos repartirlas entre las mismas 5 personas?

La operación que debemos hacer es la siguiente:

14 : 5 = 2 y nos sobran 4 bolitas.

Cada persona recibirá 2 bolitas y nos sobrarán 4 bolitas, que no son suficientes para repartirlas entre las 5 personas. Lo que nos sobra lo denominaremos resto o residuo.

En este caso, estamos frente a una división inexacta, ya que, el divisor no cabe exactamente en el dividendo y tenemos un resto o residuo.

¿Cómo podemos comprobar que el resultado de la división es el correcto?

Tenemos  30 : 6 = 5  ¿Por qué 5? Porque 5 x 6 = 30.

Entonces la multiplicación es la operación inversa de la división. Por eso, para comprobar que el cuociente es el correcto, multiplicamos el cuociente con el divisor y debemos obtener el dividendo.

Pero, ¿qué sucede si la división es inexacta y tenemos un resto o residuo?

En este caso, multiplicamos el cuociente por el resto y al producto debemos sumarle el resto para obtener el dividendo.

Ejemplo:
32 : 5 = 6 y el resto es 2.
Por lo tanto, para verificar que es correcto, 6 x 5 = 30 y 30 + 2 = 32, por lo tanto el cuociente es el correcto.

Veamos ahora como dividir números más grandes. Resolvamos el siguiente ejemplo:

84 500 : 26 =

Partiremos viendo cuantas veces está contenido el 26 en el 8 del dividendo: el 26 no está contenido en el 8. Veremos entonces cuantas veces está contenido en el 84.
El 26 está contenido 3 veces en el 84, ya que, 26 x 3 = 78 y nos sobran 6 unidades.

Luego, bajaremos la cifra de las centenas (5) como muestra la figura y veremos cuantas veces está contenido el 26 en el 65. El 26 está contenido 2 veces en el 65, ya que, 26 x 2 = 52 y nos sobran 13 unidades.

Bajaremos ahora la cifra de las decenas (0), como muestra la figura y veremos cuantas veces está contenido el 26 en el 130. El 26 está contenido 5 veces exactas en el 130, ya que, 26 x 5 = 130.

Por último bajamos la cifra de las unidades (0) y como el 26 no está contenido en el 0, ponemos un 0 en el cuociente y tenemos un resto de 0, como muestra la figura.