Números naturales (conjunto N)

Hay dos conjuntos numéricos que debemos reconocer: el conjunto de los números naturales que comienza con el 1 y el de los números cardinales que comieza con el 0. Te invitamos a conocerlos!

  • Segundo Ciclo
  • Última actualización: 31/05/2010
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Propiedades de los números: factores, múltiplos y divisores

En los seres humanos existen relaciones entre dos personas: padre-hijo, polola-pololo, hermano-hermana, amiga-amigo, etcétera. Las propiedades de los números se determinaron al establecer relaciones entre dos de ellos. Tú ya conoces algunas relaciones como las de: mayor que (>), menor que (< ), mayor o igual que y menor o igual que. También identificas la relación de equivalencia igual que (=).

Ahora te invitamos a conocer otras relaciones.

Primera propiedad: relación factores

Los factores son elementos de la multiplicación, por lo tanto, llamaremos factores de un número, al par de numerales que tienen como producto a ese número. Busquemos los factores de 18.

Encontramos:

18 x 1

  2 x 9

  6 x 3

y... ¡no hay más! Si ordenamos el ejemplo quedaría:

Foto 32

Veamos otros ejemplos:

Foto 33

Entonces podemos concluir:

- El conjunto de los factores es finito
- El número 1 es factor de todos los números

La cantidad de factores que tienen los números sirve para clasificarlos en primos y compuestos. Los primeros tienen sólo dos factores, mientras que los segundos cuentan con más de dos.

El número uno no es primo ni compuesto, porque tiene un sólo factor: él mismo.

Te proponemos memorizar estos números primos: {2, 3, 5, 7, 11}, te servirán para muchos cálculos importantes.

Factorización prima es una forma original de escribir cualquier número compuesto. Consiste en descomponer el número en un par de sus factores, luego revisamos si cada uno de ellos es primo y, si no lo es, lo volvemos a descomponer.

Para comprenderlo mejor veamos este ejemplo:

36 = 12 · 3

3 es primo y 12 es compuesto, por lo tanto, lo descomponemos en 3 x 4. De estos dos números, 3 es primo y 4 compuesto, por lo que volvemos a descomponer en 2 x 2.

Si tomamos todos los números primos tenemos: 2 x 2 x 3 x 3. A esta forma se le conoce como árbol de factores.

Graficado quedaría así:

Foto 34

Con otro par:

Foto 35

Con cualquier par de factores se obtiene el mismo resultado, que escrito en forma de potencias sería:

Foto 36

Segunda propiedad: relación múltiplos

Los múltiplos se forman al multiplicar un número por todos los números cardinales. Esto significa que cada número tiene un conjunto infinito de múltiplos. Si tomamos los múltiplos de 6 tenemos:

Foto 37

Ordenados quedan:

En las tablas de multiplicar, haz memorizado muchos múltiplos. Ellas son una visión parcial de la propiedad de los múltiplos.

Existe un número que es múltiplo de todos los números cardinales: el cero (0). También encontramos múltiplos de varios numerales a la vez, se llaman múltiplos comunes.

Observa el ejemplo:

18 es múltiplo de 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

Mínimo común múltiplo (M.C.M), es el múltiplo menor de dos o más numerales, distinto de cero, y que se aplica dentro de los múltiplos comunes. El M.C.M. es importante en el estudio de las fracciones. Existe una forma rápida de obtenerlo: la tabla de doble entrada. En ella colocamos a la izquierda los numerales, y a la derecha utilizamos sólo números primos que sean factores, por lo menos de uno de los numerales de la izquierda. Si el número de la izquierda no se divide exactamente por el primo, se baja. La tabla finaliza cuando a la izquierda hay sólo números uno. El M.C.M. se obtiene multiplicando todos los números primos que se colocaron a la derecha.

Observa el siguiente ejemplo: buscaremos el M.C.M. de 6, 8 y 12.

Foto 39

Se bajó el 8 porque no es múltiplo de 3.

3 x 2 x 2 x 2 = 24, entonces:

M.C.M. = 24

Las curiosidades del 9

Vamos a multiplicar el número 12 345 679 por nueve múltiplos de 9, a partir del 9:

12 345 679 x 9 = 111 111 111
12 345 679 x 18 = 222 222 222
12 345 679 x 27 = 333 333 333
12 345 679 x 36 = 444 444 444
12 345 679 x 45 = 555 555 555
12 345 679 x 54 = 666 666 666
12 345 679 x 63 = 777 777 777
12 345 679 x 72 = 888 888 888
12 345 679 x 81 = 999 999 999
 
Tercera propiedad: relación divisores
 
Divisor es el número que divide exactamente a otro. Equivale a ser factor de un numeral, pues, como hemos visto, la división es la operación inversa de la multiplicación. Son divisores de 18 los mismos que sus factores:

Foto 40

Veamos otros ejemplos:

Foto 41

Al observar los ejemplos, comprobamos que el 1 es divisor en los tres ejemplos. Esta relación la cumple con todos los números cardinales. También hay divisores comunes para dos o más numerales, dentro de estos se destacan el mínimo y el máximo común divisor:

- El mínimo común divisor (M.C.D.) es el menor de los divisores comunes distinto de 1
- El máximo común divisor (M.C.D.) es el mayor de ellos, distinto de 1

Cuarta propiedad: relación de divisibilidad

Si tenemos un número que es dividido exactamente por otro, decimos que es divisible, es decir, el primer número es múltiplo del segundo y éste, a su vez, es divisor del primero.

Analicemos: 10 es divisible por 5, entonces 10 es múltiplo de 5, y 5 es divisor de 10.

La divisibilidad permite analizar los números, y determinar si se cumple o no la división exacta. A través de algunas reglas que te daremos a conocer y que te sugerimos memorizar podrás hacer cálculos más rápidos y sencillos.

Reglas de divisibilidad

Un número es divisible por:

- 2, si la cifra de las unidades es par
- 3, si la suma de sus cifras es múltiplo de 3
- 4, si unidades y decenas forman un múltiplo de 4 o son 00
- 5, si la cifra de las unidades es 5 ó 0
- 6, si es divisible por 2 y por 3 a la vez

Ejemplo: 
414, divisible por 2 y 4 + 1 + 4 = 9, divisible por 3, entonces ¡es divisible por 6!

-  9, si la suma de sus cifras es múltiplo de 9
- 10, si la cifra de las unidades es 0

Hay números que son divisibles por varios a la vez. Observa el número 1 200:

- Tiene 0 unidades, entonces es divisible por 2, 5 y 10
- Tiene 0 unidades y 0 decenas, entonces es divisible por 4
- Sus cifras suman 3: 1 + 2 + 0 + 0 = 3, entonces es divisible por 3
- Como se dividió por 2 y por 3, es divisible por 6
- Por el único que no es divisible es por 9

Hay otros que son divisibles sólo por el 1 y ellos mismos. Revisemos el número 1 001:

- No tiene unidad par
- La suma de sus cifras no es múltiplo de 3, sus cifras suman 2: 1 + 0 + 0 + 1 = 2
- Unidades y decenas no son múltiplo de 4, ni tampoco 00
- No tiene unidad 5
- No es divisible por 2 y 3, entonces no puede ser divisible por 6
- La suma de sus cifras no es múltiplo de 9
- Su unidad no es 0