Quinto básico: Los números naturales y su descomposición prima

Ya has estudiado los números primos y los números compuestos, pero ¿sabes si hay alguna relación entre ellos?, ¿has oído hablar de la descomposición prima?, ¿sabías que la descomposición prima se usa para cifrar y descifrar distintos códigos, como el de las claves de las tarjetas de crédito?

  • Segundo Ciclo
  • Última actualización: 24/10/2012
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Quinto básico: Los números naturales y su descomposición prima

Pero, si no somos expertos en códigos, ni investigadores secretos, ¿para qué nos puede servir a nosotros la descomposición prima?

Aquí te presentamos un problema en donde es fundamental el uso de la descomposición prima:

En una granja donde se producen huevos, se quieren hacer cajas, todas del mismo tamaño para guardar la producción de la semana, y enviarlos a exportación. En total, las gallinas han puesto 385 huevos. Se sabe que los cajones deben tener más de 5 huevos y menos de 10 huevos. La pregunta es: ¿cuántos huevos debe haber en cada caja?

Fíjate en que la información entregada no es mucha, por lo que debemos tener ciertas consideraciones:

Lo primero es que las cajas deben ser del mismo tamaño, por lo que eso nos sugiere que debemos dividir el número de huevos en partes iguales. Ahora bien, no sabemos exactamente en cuántas partes dividirlo, pero tomemos en cuenta lo siguiente:

Ya sabes que 385 no es un número primo, por lo que se puede dividir por ciertos números. Busquemos esos números.

En primer lugar, 385 termina en 5, por lo que 5 es uno de sus divisores.

Dividamos 385 por 5. El resultado es 385 : 5 = 77. 

También podemos dividir 385 por 77. El resultado es 385 : 77 = 5

Lo anterior es equivalente a decir que 385 = 5 X 77, es decir, 5 y 77 son divisores de 385.
Ahora nos preguntamos: ¿podemos hacer cajas de 5 huevos o de 77 huevos? La respuesta es no, pues nos dicen que las cajas deben tener más de 5 y menos de 10 huevos.

Pensemos ahora si podemos dividir el 385 por otro número. Sabemos, por nuestro cálculo anterior, que 385 = 5 X 77, y además sabemos que 5 es primo, y 77 es compuesto. 77 tiene divisores, ¿cuál es un divisor de 77? Un divisor de 77 es 7. De hecho, 77 : 7 = 11, o sea, 77 = 7 X 11.
Si consideramos lo anterior, tenemos:

385    =   5 X 77
         =   5 X 7 X 11

Podemos decir entonces, que 385 es divisible por 5, por 7 y por 11. Además hay otros divisores, estos resultan de multiplicar 5 X 7 = 35, 5 X 11 = 55, y 7 X 11 = 77.

¿Podemos seguir dividiendo el 385 por otros números? Fíjate que los tres primeros divisores que encontramos (5, 7 y 11) son números primos, por lo que no se pueden seguir dividiendo. Entonces, todos los divisores de 385 son los primos 5, 7 y 11, y los que resultan de multiplicaciones entre ellos.

Ahora recordemos que las cajas deben contener más de 5 huevos y menos de 10. ¿Qué número, divisor de 385 es mayor que 5 y menor que 10? Ese número es 7, por lo que las cajas deben contener 7 huevos exactamente.

¿Te fijaste que el encontrar los divisores primos de 385 nos ayudó a resolver el problema? Cuando encontramos los divisores primos de 385, encontramos su descomposición prima.

Una estrategia para encontrar la descomposición prima de un número es hacer divisiones iteradas (como lo hicimos en el problema), por ejemplo, si queremos encontrar la descomposición prima de 12, hacemos lo siguiente:

La idea es ir dividiendo por números distintos de 1. Aquí, 12 lo dividimos por alguno de sus divisores, en este caso 2, y resulta 6 (que se escribe debajo del 12). Luego el 6 lo dividimos por alguno de sus divisores, en este caso 2, y resulta 3 (que se escribe debajo del 6), el 3, como es primo, solo lo podemos dividir por 3, y resulta 1. Aquí finaliza la descomposición prima.

Notemos entonces que 12 se puede dividir por los primos 2 y 3, pero 2 se repite.

Así 12 = 2 X 2 X 3

Otra forma de encontrar la descomposición prima de un número es mediante un árbol de factores, por ejemplo:

Acá 8 se puede descomponer en los factores 4 y 2. El número 2 es primo, así que “lo guardamos” encerrándolo en un círculo, pues no podemos seguir descomponiéndolo en factores. El número 4 se puede descomponer en los factores 2 y 2. Como 2 es primo, también “se guarda”. En total tenemos que 8 lo descompusimos en 2, 2 y 2 (tres veces el número primo 2), es decir

8 = 2 X 2 X 2.


¡Prueba con descomponer otros números en factores primos!

Para profundizar:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/divisibilidad/factores_primos.htm
http://www.slideshare.net/hbaezandino/factorizacion-prima