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Geometría, Matemáticas

El cono, el cilindro y la esfera

Estos tres cuerpos se generan al hacer girar una línea alrededor de un eje. La línea que gira recibe el nombre de generatriz y los puntos que ella describe forman una circunferencia.

El cono

Es el cuerpo geométrico redondo que se obtiene al girar una recta oblicua desde un punto fijo del eje. A ese punto se le llama cúspide. La recta, llamada generatriz, gira a lo largo de una circunferencia, directriz, que se encuentra en otro plano.

Otra forma más sencilla de determinar la formación de un cono es decir que se genera al rotar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Elementos de un cono recto

– Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo.

– Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto, AB es el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB)

– Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono.

– Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular a la base.

Observa los elementos del cono recto en este esquema:

El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vértice llamado cúspide.

Cono recto y cono oblicuo

Si la altura coincide con su eje, el cono es recto. Si el eje y la altura no coinciden, el cono es oblicuo.

Red del cono

Al abrir un cono obtenemos su red, es decir, la plantilla dibujada en un mismo plano para poder construirlo.

La cara lateral o manto de un cono corresponde a un sector circular.
Llamamos sector circular a una parte del círculo formado por 2 radios y el arco de circunferencia comprendido entre ellos.

En el manto del cono, los radios son la generatriz, y el arco equivale al perímetro de la circunferencia basal.

El cilindro

Este cuerpo redondo se forma con todas las rectas paralelas que cortan a 2 circunferencias congruentes ubicadas en planos paralelos.

Nuevamente obtendremos, de forma más sencilla, la formación de un cilindro recto. Haremos girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Elementos de un cilindro recto

– Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectángulo

– Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados AB y CD del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro.

– Altura: corresponde al mismo eje AD, es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto.

– Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro.

Observa los elementos del cilindro en este esquema:

El cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes, 1 cara lateral que es curva y 2 aristas basales.

Red del cilindro

Al abrir un cilindro y colocar todas las caras en un mismo plano, obtenemos su red. Así:

Puedes observar que en esta red se nos forma un rectángulo para la cara lateral, cuyos lados son el perímetro de las circunferencias que forman las bases.

La esfera

Es el cuerpo redondo que se genera al rotar un semicírculo alrededor de su diámetro.

Elementos de una esfera

– Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica

– Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto O

– Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia: OA

– Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro: AB

Observa los elementos en este esquema:

La esfera tiene una sola cara curva.

Cortes

Una esfera puede ser cortada por un plano que pasa por su centro. De esta forma se obtienen 2 semiesferas y el plano deja como borde un círculo máximo.

Si el plano corta a la esfera sin pasar por su centro se obtienen 2 casquetes esféricos.