*

Geometría, Matemáticas

5° Básico

Área de cuerpos poliedros

El área es la medida de una región interior, entonces, para obtener el área de cualquier poliedro deberemos calcular la medida de todas sus caras.

El área es la medida de una región interior, entonces, para obtener el área de cualquier poliedro deberemos calcular la medida de todas sus caras.

Una forma práctica para obtener áreas es calcular su área basal, su área lateral, y luego la suma de ambos, nos dará el área total.

Área total = área basal + área lateral

En un prisma

Aplicaremos nuestra fórmula para calcular el área de un prisma.

Calcularemos el área total del siguiente prisma:

Lámina

1º Cálculo del área basal: el polígono de base es un rectángulo de 12 cm de largo y 5 cm de ancho. Para calcular el área de este polígono aplicaremos la fórmula b Lámina h, donde b es la base y h es la altura. Como es un rectángulo, b será el largo y h el ancho.

b Lámina h = A basal
12 Lámina 5 = 60 cm2

2º Cálculo del área lateral: nuestro prisma tiene 4 caras laterales que también son rectángulos. Hay 2 rectángulos que miden 12 cm de largo y 10 cm de ancho. Aplicamos la fórmula para su área y obtenemos:

Alat1 = 12 Lámina 10 Lámina 2
Alat1 = 240 cm2

Hay otros dos rectángulos que miden 10 cm de largo y 5 de ancho, entonces su área corresponde a:

Alat2 = 10 Lámina 5 Lámina 2
Alat2 = 100 cm2

Para obtener el área lateral completa, sumamos ambas:

240 + 100 = 340 cm2

Determinaremos el resultado final. Así:

A total = Abasal + Alateral
A total = 60 cm2 + 340 cm2
A total = 400 cm2

En las pirámides

En el caso de las pirámides, también aplicamos:

Atotal = Abasal + Alateral

La diferencia está en que las caras laterales de una pirámide son siempre triángulos.

Un caso

Calcularemos el área total de una pirámide de base cuadrangular, que tiene su arista basal de 4 cm y su apotema lateral mide 7 cm.

1º Obtenemos el área basal: corresponde al área del cuadrado de 4 cm por lado.

A basal = 4 Lámina 4
A basal = 16 cm2

2º Calculamos el área lateral: se necesita el área de los 4 triángulos. Todos son congruentes, entonces su área será :

Lámina

A lat = 56 cm2
A total = Abasal + Alat
A total = 16 cm2 + 56 cm2
A total = 72 cm2

Para el cálculo de área de pirámides, también es importante recordar el Teorema de Pitágoras:

Hipotenusa2 = Cateto2 + Cateto2

Puede utilizarse para el cálculo del área de una cara lateral o basal, para obtener el valor del apotema basal o lateral, o de una arista basal o lateral.

Analicemos un ejemplo. ¿Cuánto mide la arista lateral de una pirámide de base cuadrada, si su apotema lateral es de 8 cm y su arista lateral mide 12 cm?

Si dibujamos una cara lateral de la pirámide, tendremos:

Lámina

Aplicamos el Teorema de Pitágoras.

82 + 62 = x264 + 36 = x2
100 = x2
100 = x (arista lateral)

Si cualquier cuerpo poliedro tiene como base un polígono regular de más de 4 lados, habrá que descomponerlo en triángulos congruentes y conocer el apotema basal, es decir su altura.

Por ejemplo:

Lámina