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Geometría, Matemáticas

5° Básico

Area de cuerpos redondos

El cono tiene una cara basal, que es un círculo; y una lateral, que corresponde a un sector circular. Entonces, el área total de un cono se obtiene con el área del círculo + el área del sector circular.

El cono tiene una cara basal, que es un círculo; y una lateral, que corresponde a un sector circular. Entonces, el área total de un cono se obtiene con el área del círculo + el área del sector circular.

Ya vimos cómo se calcula el área de círculo; nos falta conocer el cálculo del área del sector circular. Esta área se determina con el producto del radio por la generatriz y por :

Lámina

La fórmula nos queda:

Area del sector circular = Láminar g

r = radio

g = generatriz

Lámina = 3,14 (algunas veces se toma = 3)

Un ejemplo

Vamos a calcular el área del siguiente cono:

Lámina

AREA TOTAL (At.) = AREA BASAL (Abas.) + AREA LATERAL (Alat.)

At. = Abas. + Alat.

Paso 1.- Cálculo del área basal , es decir, área del círculo.

Abas. = Láminar2
Abas. = 3,14 · 6 cm2
Abas. = 3,14 · 36
Abas. = 113,04 cm2

Paso 2.- Cálculo del área lateral, es decir, área del sector circular.

Alat = Lámina r g
Alat = 6 · 3,14 · 10
Alat = 3,14 · 60
Alat = 188,4 cm2

Paso 3.- Cálculo del área total

At. = Abas. + Alat
At. = 113,04 cm2 + 188,4 cm2
At = 301,44 cm2

Como en muchas cosas de nuestra vida, es muy importante seguir ordenadamente los pasos para analizar mejor la situación y encontrar más rápidamente la solución.

Teorema de Pitágoras

Algunas veces no se conoce la medida de la generatriz o del radio. En estos casos habrá que aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular cateto o hipotenusa del triángulo rectángulo que genera el cono.

Observemos un ejemplo.

Lámina

En este caso no conocemos la generatriz, que corresponde a la hipotenusa del triángulo rectángulo. Aplicamos el Teorema de Pitágoras para su cálculo:

c2 = a2 + b2 que equivale a hipotenusa2 = cateto2 + cateto2
c2 = 42 + 32
c2 = 25 cm.2
c = 5 cm.

Este es el valor de la generatriz.

Ahora se podrá calcular el área total del cono aplicando los pasos y las fórmulas conocidas.

Area de cuerpos redondos

El área es la medida de la región interior de cada cara. Entonces, el área total de un cuerpo redondo corresponderá a la suma de las áreas de todas sus caras. Como los cuerpos redondos tienen caras curvas, vamos a recordar el cálculo del perímetro de una circunferencia y del área de un círculo.

Perímetro de una circunferencia

Corresponde a la longitud que tiene una circunferencia. En esta medida interviene un decimal infinito conocido como (pi) y que equivale a 3,14…. El perímetro de una circunferencia corresponde al producto del doble del radio por , por lo que su fórmula es:

Lámina

y r = radio de la circunferencia

Veamos un ejemplo. Si una circunferencia tiene 4 cm. de radio, su perímetro es:

Lámina

Area de un círculo

No olvidemos que circunferencia es la línea curva cerrada en la que cada punto equidista de otro llamado centro. En cambio círculo es la región interior de la circunferencia. Es al círculo al que se le calcula el área.

También debemos utilizar la magnitud , siendo su fórmula:

Lámina

y r = radio de la circunferencia.

Si queremos saber el área del círculo anterior aplicamos la fórmula:

Lámina

Ahora conozcamos el:

Area de un cono
Area de un cilindro
Area de una esfera
– Area de cuerpos compuestos

Area de un cilindro

Al igual que en el cono, el área total de un cilindro se obtiene con la suma del área basal y el área lateral. En el cilindro tenemos 2 caras basales que son círculos congruentes, y una cara lateral que es un rectángulo.

Veamos el siguiente ejemplo. Calcularemos el área total de este cilindro.

Lámina

Paso 1.- Cálculo del área basal. Equivale al área de 2 círculos congruentes.

Abas. = 2 Láminar2
Abas. = 2 · 3,14 · 82
Abas. = 2 · 3,14 · 64
Abas. = 401,92 m2

Paso 2.- Cálculo del área lateral. Es el área del rectángulo que tiene el perímetro de la circunferencia como largo y la generatriz como ancho. Recordemos que la altura y la generatriz son congruentes.

Alat. = 2 Láminar g
Alat. = 2 · 3,14 · 8 · 12
Alat. = 602,88 m2

Paso 3.- Área total

At. = Abas. + Alat
At. = 401,92 + 602,88
At. = 1.004,8 m2

Area de una esfera

El área de una esfera se obtiene con el cuádruplo del área de su círculo máximo. Recordemos que se llama círculo máximo al que pasa por el centro de la esfera. Entonces la fórmula es:

Area de la esfera = 4 Láminar2

Analicemos. Si una esfera tiene un radio de 2 m., su área será:

Area esfera = 4Láminar2
A esfera = 4 · 3,14 · 22
A esfera = 4 · 3,14 · 4
A esfera = 50,24 m2

Si la esfera es hueca, tenemos un área interior y otra exterior, en la que la medida del radio varía de acuerdo al espesor de la esfera. De este modo, el radio exterior corresponde al radio interior + el espesor de la esfera.